Question

已知函数f（x）=x2+（2+lga）x+lgb，f（-1）=-2当x∈R时，f（x）≥2x恒成立．（1）求实数a，b的值．（2）

已知函数f（x）=x2+（2+lga）x+lgb，f（-1）=-2当x∈R时，f（x）≥2x恒成立．（1）求实数a，b的值．（2）当函数f（x）的定义域为[t，t+1]（t＜0）时，求函数f（x）的最小值g（t）．

Answer 1

由题意可得f（-1）=-2，即 1-lga-2+lgb=-2，
∴lgb=lga-1．
∵对于任意x∈R，f（x）≥2x 成立橘带，
∴x²+xlga+lgb≥0对于任意x∈R恒成立，
∴x²+xlga+lga-1≥0对于任意x∈R恒成立，
∴△=（lga）²-4（lga-1）=（lga-2）²≤0，
∴lga=2，
∴a=100．
∵lgb=lga-1，
∴lgb=1，∴b=10．
（2）由（1）可得 函数f（x）=x²+4x+1=（x+2）²-3，闹皮当t+1≤-2时，即t≤-3 时，
函数f（x）在[t，t+1]上是减函液伍差数，
f（x）_min=f（t+1）=t²+6t+6，
当 t＜-2＜t+1时，即-3＜t＜-2时，
（x）_min=f（-2）=-3．
当-2≤t＜0时，函数f（x）在[t，t+1]上是增函数，
f（x）_min=f（t）=t²+4t+1．