Question

设函数f(x)在［0，2a］上连续，且f(0)=f(2a),试证明在［0，a］上至少存在一点ξ，使

设函数f(x)在［0，2a］上连续，且f(0)=f(2a),试证明在［0，a］上至少存在一点ξ，使得f(ξ)=f(ξ+a).
解答：设F(x)=f(x)-f(x+a)
F（0）=f（0）-f（a）
F（a）=f（a）-f（2a）
F（0）* F（a）<0
所以 由介值定理，存在F（ξ）=f（ξ）- f（ξ+a）=0
所以，f（ξ）=f（ξ+a）
我想请问下，这里如果f0=fa那不就不成立了吗？

Answer 1

这个解答是错的啊，至少是不完善的。

追答

还应该讨论f(0)=f(a)，此时取ξ=0或ξ=a均可
当 f(0)≠f(a)时，才可以有上面的过程。

追问

我们老师写的解答过程也直接忽略这个条件直接这样写，难道默认不相等吗

追答

你们老师当年一定是学渣，误人子弟

定理应用的是零点定理，
他能够写成介值定理，
不过，这也不是太大问题

Answer 2

如果f(0)=f(a)那F(0)=0

Answer 3

。。