Question

抛物线y 2 =2px(p>0)上点M到定点A(3,2)和焦点F的距离之和的最小值为5,求此抛物线的方程.

抛物线y 2 =2px(p>0)上点M到定点A(3,2)和焦点F的距离之和的最小值为5,求此抛物线的方程.

Answer 1

抛物线方程为y 2 =8x.

若A(3,2)在抛物线内,设l为准线,作AN⊥l于点N,交抛物线于点M, 则|MN|+|MA|=|MA|+|MF|=5. ∴(x m + )+(3-x m )=5. ∴p=4. 若A(3,2)在抛物线外,连线AF交抛物线于点M,则|AM|+|MF|=|AF|= =5. ∴p=6±2 . 又A(3,2)在抛物线外, ∴4>y 2 =6p. ∴0<p< . ∴p=6±2 不合题意. 综上,p=4,所求抛物线方程为y 2 =8x.

Answer 2

抛物线焦点F(p/2,0)
准线:x=-p/2
|MA|+|MF|=|MA|+点M到准线的距离》点A到准线的距离
所以
3+p/2=5
p=4
抛物线标准方程为y^2=8x