Question

如图，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB＝BC＝CA＝BD＝2AE，F为CD中点． （Ⅰ）求证：EF⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面

如图，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB＝BC＝CA＝BD＝2AE，F为CD中点． （Ⅰ）求证：EF⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角C－DE－A的大小．

Answer 1

（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，F，G分别为DC，BC中点， 得到 平面ABC⊥平面BCD， G为 BC中点，且AC=AB，推出AG⊥BC，从而AG⊥平面BCD， EF⊥平面BCD． （Ⅱ）二面角C－DE－A的大小为

试题分析：（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG， ∵F，G分别为DC，BC中点， ∴FG∥BD且FG＝ BD，又AE∥BD且AE＝ BD， ∴AE∥FG且AE＝FG，∴四边形EFGA为平行四边形， ∴EF∥AG，∵AE⊥平面ABC，AE∥BD， BD⊥平面ABC，又∵DB 平面BCD， 平面ABC⊥平面BCD，∵G为 BC中点，且AC=AB， ∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD， ∴EF⊥平面BCD．              6分 （Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，分别以 、 、 所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，设 ，则 ， ， ， ， ， ． 设面CDE的法向量 ，则 取 ，         8分 取面ABDE的法向量 ，          10分 由 ， 故二面角C－DE－A的大小为 ．                12分 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。