Question

已知圆C：x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0，求证：（1）无论m为何值，圆心都在同一直线l上；（2）任一

已知圆C：x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0，求证：（1）无论m为何值，圆心都在同一直线l上；（2）任一条平行于l的直线，若与圆相交，则被各圆所截得的弦长都相等．

Answer 1

证明：（1）圆的方程可化为：（x-3m）²+（y-m+1）²=25，圆心为（3m，m-1），r=5，
设x=3m，y=m-1，则x=3（y+1），即x-3y-3=0
∴无论m为何值，圆心都在同一直线l上，方程为x-3y-3=0；
（2）设直线x-3y+n=0
∴d=

|3m?3(m?1)+n|

10

=

|3+n|

10

∴弦长=2

25?d2

=2

25? (3+n)2 10

与m无关
∴任一条平行于l的直线，若与圆相交，则被各圆所截得的弦长都相等．