Question

已知圆C:x^2+y^2-6mx-2(m-1)y+10m^2-2m-24=0，求证无论m为何值，圆心恒在直线l上

答案：x=-D/2=3m,
y=-E/2=m-1
实际上是圆心轨迹的参数方程.
消去m
L: x-3y-3=0

【我想知道x-3y-3=0是怎样的出的，谢谢】
（2）求证：任何一条平行于(1)中的直线L且与圆C相交的直线L‘被圆C截得的弦长总相等

Answer 1

1.

x=-D/2=3m,

y=-E/2=m-1

实际上是圆心轨迹的参数方程.

消去m

a:  x-3y-3=0

2.

r^2=1/4(D^2+E^2-4F)=25

r=5

与a的距离等于,大于,小于5的平行线分别是相切,相离,相交

平行直线系

x-3y+λ=0

d= |λ-(-3)|/√10=5

λ=-3±5√10

对于直线x-3y+λ=0

当λ=-3±5√10,与圆相切.

-3-5√10<λ<-3+5√10, 且λ≠-3,与圆相交

λ<-3-5√10或λ>-3+5√10, 与圆相离

3.

对任意λ0∈(-3-5√10,-3)∪(-3, -3+5√10)

直线x-3y+λ0=0到圆心(3m, m-1)的距离,

即弦心距为

|3m-3(m-1)+λ0|/√10

=|3+λ0|/√10为常数

而动圆的半径为定数5.

故动直线

x-3y+λ=0

λ∈(-3-5√10,-3)∪(-3, -3+5√10)

截动圆的弦长相等.

 

Answer 2

设出与直线ℓ平行的直线的方程：x-3y+n=0，利用点到直线的距离公式表示出圆心到此直线的距离整理后发现不含有参数m故可得结论．
（Ⅰ）证明：圆C：（x-3m）2+（y-（m-1））2=25，圆心为（3m，（m-1）），r=5
设直线x-3y+n=0∴d=
|3m-3(m-1)+n|10
=
|3+n|10

弦长=2
25-d2
=2
25-
(3+n)210
与n无关