Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是______．

Answer 1

由题意可得：直线OP于平面A₁BD所成的角α的取值范围是[∠AOA₁，

π

2

]∪[∠C₁OA₁，

π

2

]．
不妨取AB=2．
在Rt△AOA₁中，sin∠AOA₁=

AA1

A1O

=

2

22+2

=

6

3

．
sin∠C₁OA₁=sin（π-2∠AOA₁）=sin2∠AOA₁=2sin∠AOA₁cos∠AOA₁=2×

6

3

×

3

3

=

2 2

3

＞

6

3