Question

请问第一型曲线积分，化为极坐标时微元为什么是这种如图形式

Answer 1

极坐标方程为
r=r(θ)
转换成参数方程就是
x=r(θ)cosθ
y=r(θ)sinθ
从而
x'=r'(θ)cosθ-r(θ)sinθ
y'=r'(θ)sinθ+r(θ)cosθ
(x')²+(y')²=[r'(θ)]²+[r(θ)]²
代入弧长曲线积分计算公式即可。

Answer 2

1. 极坐标方程为：
   r=r(θ)

2. 转换成参数方程就是：
   x=r(θ)cosθ
   y=r(θ)sinθ
   从而
   x'=r'(θ)cosθ-r(θ)sinθ
   y'=r'(θ)sinθ+r(θ)cosθ
   (x')²+(y')²=[r'(θ)]²+[r(θ)]²
   代入弧长曲线积分计算公式即可。

Answer 3

Answer 4

大四要用到，重新思考了一下这个问题。尹强的答案虽然合理，课本上可能也是这样写的，但不利于我们记忆。所有顺手再写一个从定义出发的推导过程。

由于r和θ依然是正交基，所有还是用勾股定理来计算。在把微分写成积分计算即可。

这里的难点是，既然是微分计算，所以每个点的计算都对应着一个相对坐标系来看的，即如图所示。