Question

如图,BD是△ABC的角平分线,点E、F分别在BC、AB上,且DE平行AB,EF平行AC

（1）求证：BE=AF（2）若∠ABC=60°,BD=6,求四边形ADEF的面积

Answer 1

①证明：

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠CBD

∵DE//AB

∴∠ABD=∠BDE

∴∠CBD=∠BDC

∴BE=DE

∵DE//AB，EF//AC

∴四边形ADEF是平行四边形

∴AF=DE

∴BE=AF

②解：

过点D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H。

∵∠ABC=60°

∴∠ABD=∠CBD=30°

∴DG=1/2BD=3（30°角所对的直角边等于斜边的一半）

   DH=1/2BD=3

∵DE//AB

∴∠DEH=∠ABC=60°

∴∠EDH=30°

∴EH=1/2DE

∵DE^2-EH^2=DH^2，即3/4DE^2=9

∴DE=2√3

则AF=DE=2√3

平行四边形ADEF的面积=底×高=AF×DG=2√3×3=6√3

Answer 2

⑴∵DE∥AB，∴∠ABD=∠BDE，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，
∴∠BDE=∠DBC，
∴BE=DE。
⑵∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∵BD⊥AC，∴∠BA=∠BDC，
∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，
∴ΔABD≌ΔCBD，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，∴ΔABC是等边三角形，
∴AD=1/2AC=1/2BC=4，
又DE=1/2AB=4，
∴平行四边形ADEF是菱形，
∴S菱形ADEF=2SΔADE=2×√3/4×4^2=8√3。