Question

怎么用MATLAB解带参数的一元三次方程

解方程：
(-8)*(x^3) + 9*(x^2) - 16* ((t)^2) = 0
X 用含有 t 的代数式表示。
其中t的值在0.2左右。
我们知道，在 0<t<0.25的时候， 以上方程有三个实数解， 其中一个小于零，两个大于零。
以下是我的MATLAB代码：
syms x t;
f = (-8)*(x^3) + 9*(x^2) - 16* (t^2);
w = solve(f,x);
disp(w);

为什么MATLAB得到的含有t三个解：
第一个： 把t = 0.2 带进去， 根号下是负数， 无法计算
第二个： 带有虚数 i
第三个： 带有虚数 i

请问： 如何得到实数解。不要让我直接把t 换成0.2， 我是要用含有t的代数式去别的方程解出t，解出来， t 是不等于0.2 但是很接近0.2的实数。

Answer 1

提几点想法供参考：

 

1、之所以代入t=0.2会得到有虚部的解，是由数值计算误差造成的。你可以试试：

>> syms x t;
>> f = (-8)*(x^3) + 9*(x^2) - 16* (t^2);
>> w = solve(f,x);
>> double(subs(w,sym(0.2)))
ans =
    1.0528
   -0.2419
    0.3141

此种情况下，0.2是以符号量的形式代入之后再转换为double类型，计算就不会有数值误差。

 

2、可以用根轨迹分析的方法得出，方程有三个实数解的条件并非0<t<0.25，而是 |t| ≤ sqrt(27/256)，对于临界点 t≈0.3248，对应的三个根为 [ 3/4, -3/8, 3/4]。

 

根轨迹分析的基本思路是，令 K= t^2，则可以用

s=tf('s');
rlocus(16/(8*s^3-9*s^2))

画出方程根随K=0→∞的变化情况，而由根轨迹两个分支的分离点坐标可以求出K，进而得到t。

 

3、要想得到实根的表达式，可以试一下real(w)：

>> subs(real(w),0.2)
ans =
    1.0528
   -0.2419
    0.3141
>> subs(real(w),0.32)
ans =
    0.8216
   -0.3701
    0.6735

注意，这和楼上的 real(sub(w, t, 0.2)) 完全不是一回事。real(w) 得到的表达式似乎更复杂一些，但究竟为什么subs能得到实数结果，我还没想太明白。

Answer 2

real(sub(w, t, 0.2))

t=0.2代进去后三个解都是实数。

Answer 3