Question

不用求出函数f(x)=(x–1)(x–2)(x–3)(x–4)的导数,说明f”(x)=0有几个实

Answer 1

根据罗尔中值定理：f(x)在区间[a,b]上可导，且f(a)=f(b),那么存在ξ∈[a,b],f'(ξ)=0,∴f'(x)在[1,2],[2,3],[3,4]上各有一个ξ，f'(ξ)=0第二个也不难：方法一：考察f(x)=nb^(n-1)*(x-b)，g(x)=x^n-b^nf(b)=g(b)=0当x>b>0时，f'(x)=nb^(n-1),g'(x)=nx^(n-1)∴f'(x)＜g'(x)∴[g(x)-f(x)]'＞0,当x＞b时,设h(x)=g(x)-f(x)∴h(b)=0,由拉格朗日中值定理：存在ξ∈[b,a]h(a)-h(b)=h'(ξ)*(a-b)=h(a)∵h'(ξ)＞0,a-b＞0∴h(a)＞0,∴g(a)＞f(a)另一边：同理设f(x)=a^n-x^n,g(x)=na^(n-1)*(a-b)即可证。方法二：a^n-b^n=(a-b)[∑a^i*b^(n-1-i)],i=1,2,…,n-1∵b^(n-1)=b^i*b^(n-1-i)＜a^i*b^(n-1-i)＜a^i*a^(n-i-1)=a^(n-1)∴nb^(n-1)*()a-b＜a^n-b^n<na^(n-1)*(a-b)