Question

如图，在三角形ABC中，角a c b等于90度，ac等于bc， d为三角形ABC外一点，且ad等于

如图，在三角形ABC中，角a c b等于90度，ac等于bc， d为三角形ABC外一点，且ad等于bd，d e垂直ac交ca的延长线于e。求证：de等于ae+bc。

Answer 1

连接CD,过B点做BG垂直于DE,角CD于点F.连接AF,如图

,于BC,BG平行于AC,由已知条件，在三角形CBD和三角形CAD中，AC=BC,DC=DC,BD=DA,三角形CBD全等于三角形CAD(SSS)，所以有角BDC=CDA,又DB=DA,DF=DF,三角形FBD全等于三角形FAD(SAS)

所以BF=AF,角DCA=BAC=45,角CBF=90,角ABF=BAC=45,在三角形BFA中，BF=AF,三角形是等腰三角形，所以角BFA=90,所以四边形ACBF为正方形。所以BC=AF,同理FGEA是长方形，所以FG=AE,AF=GE,在三角形DFG中，角DGF=90,角DFG=DCA=45,所以三角形DFG是等腰直角三角形，所以DG=FG;线段DE=DG+GE=AE+BC

Answer 2

比较两个三角形CAD和CBD;

CB=CA,BD=AD(已知）

∠CAB=∠CBA，∠BAD=∠ABD（等腰三角形的性质）

∴∠CAB+∠BAD=∠CBA+∠ABD  ---->∠CBD=∠CAD

因此可以知道三角形CBD和CAD是全等。

∴ ∠BCD=∠ACD=1/2*∠BCA=45°      ----（*1）

而在三角形CED，∠CED=90°（已知）----（*2）

（*1），（*2)--->∠CDE=45°=∠ECD

∴ 三角形CED是等腰三角形。

∴ DE=CE=AE+CA=AE+BC     （已知CA=AB）

DE=AE+BC

（证明完毕）

Answer 3

连接C，D两点。
等腰三角形性质：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。
因为三角形ABC与三角形ABD为共底边（边AB）等腰三角形。且三角形ABC为等腰直角三角形。
故三角形ABC与三角形ABD的三线共一，即CD连线。垂直于AB。
连线同为角平分线，使得角DCE为45度。故三角形DCE为等腰直角三角形。
得DE=AE+AC,因BC=AC，则DE=AE+BC。

Answer 4

思路：求证DE=AE+BC。由已知AC=BC，所以求出DE=AE+AC即可，由图可知AC+AE=CE，所以证明DE=CE即可。CE与DE组成直角。若想证明直角两边相等，只需证出直角三角形底角为45°即可。
解：连接D,C。由已知可知：AC=BC,AD=BD,CD为公共边，所以△ACD≌△BCD，所以∠ACD=∠BCD=½∠ACB=½×90°=45°。
在Rt△CED中，∠DCE=45°，所以Rt△CED为等腰直角三角形，所以DE=CE=AE+AC=AE+BC
即：DE=AE+BC

Answer 5

对于此题，需要借助辅助线（连接CD）来分析：
而为什么要做这样的辅助线呢？ 首先，题目条件AC=BC，角C为直角（推知角CAB=角ABC=45°），且有AD=BD，两个三角形均为等腰三角形。则要是连接CD，势必该条线会过AB中点且垂直于AB。 （假设交AB于点F）
有这样的一条特殊的线存在，便于分析问题。所以不管题目如何，有了这条辅助线可以使问题简单化。
接着分析，由于CF垂直于AB,且F为中点，则角DCA=45°，又角E为直角，则角EDC=45°。则三角形CDE为等腰直角三角形,DE=CE。
又E为CA延长线上一点，则CE=CA+AE。而CA=BC，即CE=AE+BC。
因此，DE=CE=AE+BC。
题目得证。