Question

求所有的实数k,使得方程kx^2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数

Answer 1

若根都是整数，则由根与系数的关系知： （k-1)/k 和 （k+1)/k都是整数
a) k=0 , 则方程变为x-1=0,满足条件
b) 当且仅当|k|=1，(k+1)/k, (k-1)/k是整数，带入验证可知k=1和-1满足条件。

Answer 2

1).k=0 , 则方程变为x-1=0,解方程x=1是整数，符合题意；
2).不等于0，那么方程两边除k,得：x平方+（k+1）/k*x+(k-1)k=0
当判别式大于0，(6-4根号3）/3＜k＜（6+4根号3）/3且k不等于0.
设a,b分别是方程的整数解,则(X-a)*(X-b)=0,化解：X平方-（a+b）X+a*b=0.
因为a,b是整数，所以-(a+b)和a*b是整数。即（k+1）/k和(k-1)k同时都是整数。所以只有a)k+1=0,则x平方+2=0，方程无解。
b)k-1=0,则x平方+2x=0,解得x=0或x=2.
当判别式=0，k=6-4根号3）/3或（6+4根号3）/3，按照上述方法解方程，方程无满足题意的解。
当判别式<0,方程无解。