Question

计算n阶行列式 1-a1 a2 0 ... 0 0 -1 1-a2 a3... 0 0 0 -1 1-a3...0

计算n阶行列式
1-a1 a2 0 ... 0 0
-1 1-a2 a3... 0 0
0 -1 1-a3...0 0
..................
0 0 0 ...1-an an
0 0 0 ...-1 1-an

提示依最后一列展开。求过程

Answer 1

首先给出代数余子式的定义。

定义2在行列式

中划去元素aij所在的第i行第j列，剩下的(n-1)2个元素按原来的排法构成一个n-1阶的行列式Mij，称Mij为元素aij的余子式，Aij=(-1)i+j Mij称为元素的代数余子式。

定理：设

Aij表示元素aij的代数余子式，则下列公式成立：

扩展资料

性质

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

参考资料来源：百度百科-n阶行列式

参考资料来源：百度百科-行列式

Answer 2

刚学线性代数，练习册上就这题最怪。想了很久，以下是我的做法。

根据答案上的提示，依最后一列展开，可以得到递推公式 Dn=(1-an)*Dn-1 +an*Dn-2

D1=1-a1 , D2=1-a1+a1a2 , D3=1-a1+a1a2-a1a2a3 

由此 假设 Dn-1=1-a1+a1a2-a1a2a3+......+(-1)^(n-1) a1a2a3...an-1

Dn=(1-an)Dn-1+anDn-2

=Dn-1+an(Dn-2 - Dn-1)

=Dn-1+(-1)^n a1a2a3...an

=1-a1+a1a2-a1a2a3+......+(-1)^n a1a2a3...an

递推公式大家可以写一个D6,D7来推。

Answer 3

-a1 a1 0 ...0 0
0 -a2 a2 ...0 0
.........
0 0 0 ...-an an
1 1 1 ...1 1
把2,3,...,n列都加到第1列,得
0 a1 0 ...0 0
0 -a2 a2 ...0 0
.........
0 0 0 ...-an an
n+1 1 1 ...1 1
按第1列展开
行列式 = (n+1)*(-1)^n * a1a2...an