Question

k是一个正奇数,证明 1^k+2^k+...+n^k 能被(n+1)整除

Answer 1

证明：设Sn=1^k+2^k+3^k+.. +n^k 反序即：Sn= n^k+(n-1)^k+..2^k+1^k 两式相加：2Sn=2+ (2^k+n^k)+.. (n^k+2^k) k为奇数时，有：a^k+b^k=(a+b)[a^(k-1)-.....+b^(k-1)] 即a^k+b^k能被a+b整除 所以上式中右边从第二项开始每项m^k+(n-m+2)^k都能被m+n-m+2=n+2整除（m为任意数） 即有：2Sn=2+(n+2)P Sn=1+(n+2)P/2 因此各项都为整数，所以Sn 被n+2除余1. 结论成立。