Question

已知f(x)=lim(ln(e^x+x^n)/n)，在n接近无穷时 为什么要讨论x的取值范围？？？？？

已知f(x)=lim(ln(e^x+x^n)/n)，在n接近无穷时。

（1）求f(x) (2)函数f(x)在定义域内是否连续？f(x)=lim<n→∞>[ln(e^n+x^n)]/n
=lim<y→+∞>[ln(e^y+x^y)]/y
罗比达法则
f(x)=lim<y→+∞>[ln(e^y+x^y)]/y
=lim<y→+∞>[e^y+(x^y)lnx]/(e^y+x^y)

0＜x≤e时，f(x)=1；
x＞e时，f(x)=lnx.

(2)0＜x＜e时，f(x)=1 连续；
x＞e时，f(x)=lnx 连续；

lim<x→e-0>f(x)=lim<x→e+0>f(x)=1=f(e)，f(x)在 x=e 时也连续。

所以 f(x)在定义域 x>0 上连续。为什么要讨论x的取值范围？？？？？

Answer 1

这是毫无疑问的
如果x的绝对值小于1
那么n趋于无穷大时，x^n趋于0

而如果x的绝对值大于1
那么n趋于无穷大时，x^n趋于无穷大
二者的解显然是不一样的

Answer 2

简单分析一下即可，详情如图所示