Question

f（x）有一个可去间断点，是否存在原函数

Answer 1

设 f(x)的可去间断点x0, f(x) 在任何别的点都连续. 设g(x)为f(x)的连续化所得函数. 即 当 x不=x0时, g(x)=f(x), g(x0) = lim(x-->x0)f(x).
g(x),f(x) 都是可积函数. 而g(x) 连续. 所以g(x)存在原函数G(x). 假设f(x)存在原函数F(x). 则： h(x)=f(x)-g(x) 存在原函数 F(x)-G(x)
而 h(x) = 0 如果 x不=x0. 但是 h(x0) 不= 0. 这样的h(x) 可积, 且积分函数是常值函数. 所以F(x)-G(x) = C, C为常数. ==》 F'(x) = G'(x) 即 g(x) = f(x) , 矛盾. 所以不存在F(x) 使得 F'(x) = f(x) 在 x=x0处成立. 即 f(x) 不存在原函数.