Question

线性代数问题： A的伴随矩阵≠0，至少有一个元素≠0，为什么r(a)≥n-1?

Answer 1

有定理：A 为 n 阶方阵，A* 是 A 的伴随矩阵，则
1、r(A) = n，则 r(A*) = n
2、r(A) = n-1，则 r(A*) = 1
3、r(A)<n-1，则 r(A*) = 0
既然 A* 有一个元素不为 0，因此 r(A*) 至少为 1，
从上述定理可知 r(A) = n 或 n-1 。

Answer 2

引用西域牛仔王的回答：
有定理：A 为 n 阶方阵，A* 是 A 的伴随矩阵，则
1、r(A) = n，则 r(A*) = n
2、r(A) = n-1，则 r(A*) = 1
3、r(A)<n-1，则 r(A*) = 0
既然 A* 有一个元素不为 0，因此 r(A*) 至少为 1，
从上述定理可知 r(A) = n 或 n-1 。

第二步 大于等于1

Answer 3

1.
楼主的命题是不严密的，反例：
a
=
[0
1;
有2个0特征值，但是r(a)
=
1，那么n
-
r(a)
=
2
-
1
=
1
<
2。
0
0]
2.
而命题：a)
一个矩阵a的n
-
r(a)小于等于0特征值的个数；b)
一个可对角化矩阵a的n
-
r(a)等于0特征值的个数，则是严密的。