Question

关于克拉默法则的问题 对非齐方程组AX=b |A|=0是方程组无解或有无穷多解的充要条件吗？

关于克拉默法则的问题
对非齐方程组AX=b
|A|=0是方程组无解或有无穷多解的充要条件吗？对非齐方程组AX=b
|A|≠0是方程组有唯一解的充要条件吗？
对齐次方程组AX=0
|A|=0是方程组有非零解的充要条件吗？
|A|≠0是方程组只有零解的充要条件吗？

Answer 1

充分性：
∵A是n阶矩阵,且|A|≠0
∴秩r(A)=n,即满秩,∴增广矩阵r(A,b)=n
∵r(A)=r(A,b)=n
∴非齐次线性方程组Ax=b对任何b都有解.
必要性：
假设|A|=0,即r(A)＜n,
若此时给出一个b无法用A的向量线性表示,即增广矩阵r(A,b)＞r(A)
那么此时非齐次线性方程组Ax=b就无解,请看例子：

Answer 2

你说的都是对的，
李永乐的视频做题用了这些性质的。
你对克拉默法则的理解没问题。这几个都是对的