Question

难题！高三数学题

求证：（x+1/x)^n-x^n-1/x^n>2^n-2
求高手给出巧妙方法，且不能与我所知道的方法类同
方法巧妙者加分！

我已经知道的方法：
其中C(a,b）中的a为上标，b为下标，是组合，也叫杨辉三角

左式=C(1，n-1)x^(n-2)+C(2,n-2)x^(n-4)+……+C(n-1,n)x^(2-n)①
把左式从后面开始写可得
左式=C(n-1,n)x^(2-n)+……+C(1，n-1)x^(n-2)
左式=C(1，n-1)x^(2-n)+C(2,n-2)x^(4-n)+……+C(n-1,n)x^(n-2)②

①+②得
2*左式=C(1，n-1)(x^(n-2)+x^(2-n))+C(2,n-2)(x^(n-4)+x^(4-n))+……+
续上 C(n-1,n)（x^(n-2)+x^(2-n))
∴当x=1时，左式取得最小值
即 2*左式>=2（C(1，n-1)+C(2,n-2)+……+C(n-1,n)）
左式>=2^n-C(0，n-1)-C(n,n)
左式>=2^n-2

我个人认为前面还算巧妙，但用均值不等式有点投机取巧，
希望高手能给出更为巧妙的解法！
方法巧妙一定会加分！
虽然求导和数学归纳我都想过，但还是非常感谢大家
继续等待更巧妙答案，如果没出现，我就让人投票1，2楼吧

Answer 1

（x+1/x)^n-x^n-1/x^n≥2^n-2
变型：（x+1/x)^n≥x^n+1/x^n+2^n-2
用数学归纳法，n=1和2的时候很容易验证上式成立
设n的时候成立上述不等式,
那么n+1时:
（x+1/x)^(n+1)≥(x^n+1/x^n+2^n-2)*(x+1/x)={x^(n+1)+1/x^(n+1)+2^(n+1)-2}
+[x^(n-1)+1/x^(n-1)]+2^n[(x+1/x)-2]-2(x+1/x)+2
而[x^(n-1)+1/x^(n-1)]≥2；
所以上式≥={x^(n+1)+1/x^(n+1)+2^(n+1)-2}+2^n[(x+1/x)-2]-2(x+1/x-2)
={x^(n+1)+1/x^(n+1)+2^(n+1)-2}+(2^n-2)*[(x+1/x)-2]....后面两个非负数相乘是非负的
≥x^(n+1)+1/x^(n+1)+2^(n+1)-2
故n+1的时候也是成立的，由归纳假设知道命题是成立的。即证。

还有一个方法就是利用导数来证明，你可以想想，就是在利用导数说明单调性的时候稍微复杂了点，其他的都很简单

Answer 2

用导数啊！导完之后令导数等于0，看取值范围，＞0的部分为单调增函数，＜0的部分为单调减函数。看哪部分单调，那部分就是他的定义域啊！建议你自己导，自己不导，永远学不会的，尤其是在考场上一紧张就更不会做了！

Answer 3

记f(x)=(x+1/x)^n-x^n-1/x^n
则它的导函数为f'(x)=n(1-1/x^2)(x+1/x)^(n-1)-nx^(n-1)+n/x^(n+1)
令f'(x)=0得x=1.当x>1时f'(x)>0所以f(x)单调增加，当x<1时f'(0)<0所以f(x)单调递减，从而f(x)在x=1时取到最小值，把x=1代入得f(10=2^n-2所以f(x)>=2^n-2

Answer 4

我告诉你最“春”的方法 用数学归纳法？