Question

求曲线y=x²在点(2，3)处的切线方程和法线方程

Answer 1

设过点(2,3)且与y=x²相切的切点是(x₀,x₀²)

y'=2x 由导数的几何意义：斜率k=2x₀=(x₀²-3)/(x₀-2)

x₀²-4x₀+3=0 x₀=3 x₀=1

切点(1,1)切线的斜率k=2、点(3,9) 切线的斜率k=6

∴两条切线为：y₁=2(x-2)+3=2x-1 y₂=6(x-2)+3=6x-9

切点处的法线：
y-1=-½(x-1)→y=-½x+1½
y-9=-⅙(x-3)→y=-⅙x+9½

Answer 2

y=x²
设切线方程为(y-3)/(x-2)=k，此直线与y=x²只有一个交点，即x²-kx+2k-3=0只有一组解，由此得k²-8k+12=0,解得k1=2,k2=6，即切线方程为(y-3)/(x-2)=2与(y-3)/(x-2)=6。
设法线方程为(y-3)/(x-2)=N，与y=x²交点为x=(N±√(N²-8N+12))/2，y=。。。。
在此交点处，y=x²的导数2x=1/N，由此解出N，得到法线方程。