Question

高数求微分方程通积分！ 求详细过程...

Answer 1

分离变量你化简的式子是错的,
y=ux , dy=udx+xdu
代入可得到 (3x+5ux)dx+(4x+6ux)(udx+xdu)=0
(3+5u)dx+(4+6u)udx+(4+6u)xdu=0
(3+9u+6u²）dx+(4+6u)xdu=0
分离变量
(3/x ) dx+[（4+6u）/(2u²+3u+1)] du=0
积分可得到 3ln|x|+2ln|u+1|+ln|2u+1|=C1
代入 2ln|y+x|+ln|2y+x|=C1
所以 (x+y)²(x+2y)=C

追问

thx！感觉是一个新方法

中间分离变量后为什么一个x不见了...？求解

Answer 2

你积分积错了呗
右边是ln|1/x³|+C1,不是平方
左边则是ln|2u+1|+ln|u+1|²=ln|(2u+1)(u+1)²|

Answer 3

dy/dx = -(3x+5y)/(4x+6y) = -(3+5y/x)/(4+6y/x) 是齐次方程，
令 y/x = u, 则 y = xu， dy/dx = u+xdu/dx
得 u+xdu/dx = -(3+5u)/(4+6u),
xdu/dx = -(3+9u+6u^2)/(4+6u) = -3(u+1)(2u+1)/(4+6u)
(4+6u)du/(u+1)(2u+1) = -3dx, [2/(u+1) + 2/(2u+1)]du = -3dx
ln(2u+1)(u+1)^2 = -3x + lnC, (2u+1)(u+1)^2 = Ce^(-3x),
(2y+x)(y+x)^2 = Cx^3e^(-3x)

追问

方程右端不是对-3/x的积分吗...

追答

重答：
dy/dx = -(3x+5y)/(4x+6y) = -(3+5y/x)/(4+6y/x) 是齐次方程，
令 y/x = u, 则 y = xu， dy/dx = u+xdu/dx
得 u+xdu/dx = -(3+5u)/(4+6u),
xdu/dx = -(3+9u+6u^2)/(4+6u) = -3(u+1)(2u+1)/(4+6u)
(4+6u)du/(u+1)(2u+1) = -3dx/x, [2/(u+1) + 2/(2u+1)]du = -3dx/x

ln(2u+1)(u+1)^2 = -3lnx + lnC, (2u+1)(u+1)^2 = Cx^(-3),
(2y+x)(y+x)^2 = C

追问

！非常感谢