Question

同余的性质。

那些等价定理我知道，只是上课老师讲的太快，解应用题的方法没有知道，希望高手告诉我几类经典的解法，有的话追加全部分！

Answer 1

同余这个概念最初是由德国伟大的数学家高斯发现的，有这样的几个定理：对于两个整数A和B，如果他们除以同一个自然数M的余数相同，就说A、B对于模M同余。比如说：12除以5，47除以5，他们有相同的余数2，这时我们就说对于除数5，12和47同余。记作12≡47（mod5)
同余的性质主要有：（1）对于同一个除数，两数的和（或差）于他们余数的和（或差）同余数。（2）对于同一个除数，两数的乘积与他们余数的乘积同余。（3）对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。（4）对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。
例1：求1992×59除以7的余数。
根据性质2，不用计算两个数的乘积，可以转化位分别求出1992÷7和59÷7的余数的积，使计算简单化。第一个余数是4，第二个余数是3.余数的乘积是12，除以7后的余数是5，所以1992×59除以7的余数是5.简单记做因为1992×59≡4×3≡5（mod7）,所以余数是5.
例2：求2001的2003次方除以13的余数。
根据性质4来解决。2001除以13的余数等于12，12除以13的余数也是12，可以说2001的2003次方与12的2003次方对于除数13同余。但是12的2003次方仍然是一个很大的数字，求余数仍然比较困难。这时的关键找出12的几次方对于13与1同余，经过试验知道12的平方≡1（mod13),而2003＝2的1001次方+1，所以12平方的1001次方≡1的1001（mod13).根据同余的性质12的2002次方×12≡1×12＝12（mod13),所以余数等于12。
例3：自然数16520、14903、14177除以m得到相同的余数，m最大的数值等于多少？
三个数字比较大，但是他们对于m同余，那么当中任意两个数字的差必然是m倍数，要求m的最大的数值可以转化位求他们的三个差的最大公约数，从而降低计算的难度。16520-14903=1617=3×7的平方×11，16520-14177=2343=3×11×71，14903-14177=726=2×3×11的平方，三个差的最大公约数是3×11=33,m的最大数字等于33.
练习：
1)879×4376×5283除以19的余数。
2）已知2001年的国庆节是星期一，求2008年的国庆节是星期几？
3）求16的200次方除以21的余数？
4)一个整数除226、192、141都得到相同的余数，并且余数不等于0，这个整数最大是多少？