Question

函数项级数点点收敛与一致收敛的区别是什么？

Answer 1

从定义上看：

fn一致收敛到f：对于任意的e>0,存在一个N>0，使对于任意的x在定义域和n>N, |f(x)-fn(x)|<e

fn逐点收敛到f：对于任意的e>0,对于任意的x在定义域，存在一个N_x>0，使任意的和n>N_x, |f(x)-fn(x)|<e

这里注意到，我在逐点收敛的N上标了一个下标x，表示N和x是有关系的。而一致收敛的N是先取的，是对所有x都适用的。这个就是最大的区别：

逐点收敛指在每个点，函数值fn(x)都收敛到f(x)，但是不同点收敛快慢可能不一样。

一致收敛指所有fn(x)大约“同步”地收敛到整个f(x)。

另一套解释：

点点收敛,是每一个点都收敛到极限函数，但收敛快慢没有限制，比如在（0，1）区间Fn(x)=x^n会收敛到F(x)=0，但收敛速度有快有慢，x越接近于1，收敛速度越慢。（甚至可以任意慢，对任意ε＞0，任意N＞0，存在n＞N,x0,使得abs[Fn(x0)-F(x0)]＞ε；abs（f）表示f的绝对值）
一致收敛，不仅仅每一个点都收敛到极限函数，而且收敛速度要好于一个共同的标准（一致性）。，比如在（0，0.5）区间Fn(x)=x^n会收敛到F(x)=0，虽然收敛速度有快有慢，但是都比0.5^n要快。（对任意ε＞0，存在N＞0，任意n＞N,x0,使得abs[Fn(x0)-F(x0)]＜ε；abs（f）表示f的绝对值）

函数序列的三种收敛之间的关系是：
一致收敛一定点点收敛和弱收敛，反之不然
点点收敛与弱收敛之间没有必然联系