Question

设0<X0<1,{Xn}满足条件：Xn+1=Xn(2-Xn) (n=0,1,2,……）,求极限Xn

Answer 1

∵0<x0<1，∴0<x0<x²0<1。∴x1-x0=x0(2-x0)-x0=x0-x²0>0，∴x1>x0。以此类推，有xn+1>xn，即{xn}单调增。
又，xn+1=xn(2-xn)=1-(1-xn)²≤1，∴{xn}有界。∴xn的极限存在。
设lim(n→∞)xn=A。∴lim(n→∞)xn+1=lim(n→∞)xn(2-xn)，即A=A(2-A)。∴A=0，A=1。
而，xn>0，∴lim(n→∞)xn=1。
供参考。

追问

你好，我想问一下以此类推是怎么推出来的，这个条件不是只能推出x1>x0吗，是怎么继续推下去的？

追答

得出x1>x0。又，x1=1-(1-x0)²0，∴x2>x1。……。