Question

设x1=10，xn+1=√(6+xn) (n=1，2，…)，试证数列{xn}极限存在，并求此极限

Answer 1

1. 先证有界性
设 xn<=3
xn+1=√6+Xn<=√6+3=3
即
xn+1-xn=√6+Xn-√6+Xn-1
=(xn-xn-1)/[√6+Xn+√6+Xn-1]
所以
xn+1-xn和xn-xn-1 符号相同
而
x2=√6+X1=4
x2-x1<0
所以
xn+1-xn<0
xn+1<xn
即
{xn}是减函数，
所以单调有界数列必有极限；
设极限=a
则
limXn+1=lim√6+Xn
a=√6+a
a²=6+a
a²-a-6=0
(a+2)(a-3)=0
a=3
即
极限=3
给个好评吧，谢谢