Question

f(x)=lnx+(1-ax)e＾x. 当x≥1时，若f(x)≤0,求a的取值范围。

Answer 1

解：f(x)=e^x-1-x-ax
f'(x)=e^x-(a+1)
若a+1≤0，也即a≤-1，则f'(x)>0，f(x)严格单增，故只需f(0)≥0，1-1-(a+1)*0≥0，得0≥0恒成立。故a≤-1时满足题意。
若a+1>0，也即a>-1，则方程f'(x)=e^x-(a+1)=0有实数解x=ln(a+1)。
此时f''(x)=e^x=e^[ln(a+1)]=a+1>0，故f[ln(a+1)]为f(x)在区间[0,+∞)上的极小值。因此只需f[ln(a+1)]≥0，也即e^[ln(a+1)]-1-(a+1)ln(a+1)=a+1-1-(a+1)ln(a+1)=a-(a+1)ln(a+1)≥0
也即ln(a+1)-a/(a+1)≤0
考虑函数g(a)=ln(a+1)-a/(a+1)，a>-1，显然g(0)=0,g'(a)=1/(a+1)-1/(a+1)^2=a/(a+1)^2。
若a>0，则g'(a)>0，当a>0时有g(a)>g(0)=0，与g(a)≤0矛盾。
当-1<a≤0时，则f(0)=0，f'(x)=e^x-(a+1)≥e^0-(a+1)=-a≥0，故当x≥0,f(x)≥0恒成立。
于是，当且仅当a≤0时，对x≥0，均有f(x)≥0成立。
也即a的取值范围是：a≤0