Question

已知函数f（x）=ax+lnx．（Ⅰ）若a=1，求f（x）在x∈[1，e]上的最大值；（Ⅱ）若当x∈[1，e]时，f（x）≤

已知函数f（x）=ax+lnx．（Ⅰ）若a=1，求f（x）在x∈[1，e]上的最大值；（Ⅱ）若当x∈[1，e]时，f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）函数F（x）=ax+lnx+x2在区间（0，2）上有两个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）若a=1，则f（x）=x+lnx，f′(x)＝1+

1

x

＝

x+1

x

，-----------（1分）
∵x∈[1，e]∴f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，-----------（2分）
∴f（x）_max=f（e）=e+1-----------（3分）
（Ⅱ）方法一：要使x∈[1，e]，f（x）≤0恒成立，只需a≤

?lnx

x

的最小值-----------（5分）
令g(x)＝?

lnx

x

，则g′(x)＝

lnx?1

x2

，
g′(x)＝

lnx?1

x2

＝0，则x=e，即g′（x）≤0对x∈[1，e]恒成立，
g(x)＝?

lnx

x

在[1，e]上单调递减，-----------（7分）
g(x)＝?

lnx

x

的最小值为g(e)＝?

1

e

所以，a≤?

1

e

．-----------（8分）
方法二：要使x∈[1，e]，f（x）≤0恒成立，只需x∈[1，e]时，f（x）_max≤0
显然当a≥0时，f（x）=ax+lnx在[1，e]上单增，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1＞0，不合题意；-----------（5分）
当a＜0时，f′(x)＝a+

1

x

＝

ax+1

x

，令f′（x）=0，x＝?

1

a

当x＜?

1

a

时，f′（x）＞0，当x＞?

1

a

时，f′（x）＜0
①当?

1

a

≤1时，即a≤-1时，f（x）在[1，e]上为减函数
∴f（x）_max=f（1）=a＜0，∴a≤-1；-----------（6分）
②当?

1

a

≥e时，即?

1

e

≤a＜0时，f（x）在[1，e]上为增函数
∴f(x)max＝f(e)＝ae+1≤0，a≤?

1

e

，∴a＝?

1

e

；
③当1＜?

1

a

＜e时，即?1＜a＜?

1

e

时，f（x）在[1，?

1

a

]上单增，f（x）在[?

1

a

，e]上单减-----------（7分）
∴f(x)max＝f(?

1

a

)＝?1+ln(?

1

a

)
∵1＜?

1

a

＜e，∴0＜ln(?

1

a

)＜1，∴f(?

1

a

)＜0成立；
由①②③可得a≤?

1

e

----------（8分）
（Ⅲ）：函数F（x）=ax+lnx+x²
∴F′（x）=a+

1

x

+2x，x＞0，函数F（x）=ax+lnx+x²在区间（0，2）上有两个极值点，
则F′（x）=0在（0，2）有两个实数根，
∴a+

1

x

+2x=0，∵

1

x

+2x≥2

2

，当且仅当x=

2

2

时等号成立，x=2时，

1

x

+2x=

9

2

，x→0，

1

x

+2x→+∞，
∴-

9

2

≤a＜?2

2

，y=a与y=-（

1

x

+2x）在（0，2）有两个不同交点．
故a的取值范围为：[-

9

2

，?2

2

）