Question

已知集合A｛x丨x²-4ax+2a+6=0 x属于R｝，若A∩｛x＜0｝≠空集 求实数a的取值范围

Answer 1

因为A∩｛x＜0｝≠空集
所以A中的方程至少有一个负数根（有两相等的负根，有一正一负两根，有两不等的负根）
（1）A中的方程有两个相等的负根，则有△=16a^2
-
4*1*(2a+6)=0且-（-4a）/1＜0且2a+6＞0
解得a=-1或a=3/2，且a＜0且a＞-3，所以得a=-1，此时方程变为x^2
+
4x
+
4=0，可解得x=-2
（2）
A中的方程有一正一负两根，则有△=16a^2
-
4*1*(2a+6)＞0且2a+6＜0，解得a＞3/2或a＜-1，且a＜-3，所以a＜-3
（3）A中的方程有两不等的负根，则有△=16a^2
-
4*1*(2a+6)＞0且-（-4a）/1＜0且2a+6＞0
解得a＞3/2或a＜-1，且a＜0且a＞-3，所以-3＜a＜-1
综上所述得实数a的取值范围为
a＜-3且-3＜a≤-1
注：^表示几次方，如x^2表示x的平方

Answer 2

已知集合a＝｛x∈r｜x²－4ax＋2a＋6＝0｝，b＝｛x∈r｜x＜0｝，若a∩b≠空集，求实数a的取值范围因为a∩b≠空集，所以a不为空集,且方程至少有一个负数根
所以根的判别式应不小于0
得：16a^2-4(2a+6)>=0,即
2a^2-a-3>=0
解得：a>=3/2或a<=-1
经验证a=3/2时，根为3（两等根），舍去
a=-1时，根为-2（两等根），合题意
所以
a>3/2或a<=-1
当方程两个根都是正数时，有两根之和大于0，两根之积大于0
得
4a>0且2a+6>0,即a>0
所以方程两个根都是正数时，a>3/2
对a>3/2在a>3/2或a<=-1范围内取补集，
即得到方程至少有一个负数根情况下a的取值范围,即a<=-1
综上
a<=-1