Question

求助一道数学题

如图

Answer 1

选A；即a>b>e是 alnb>blna的充要条件。
证明：先证充分性，即若a>b>e，则必有alnb>blna；
作函数 y=(lnx)/x，其中x>e；则y'=(1-lnx)/x²<0；这是因为x>e，故lnx>1，∴1-lnx<0；
即x>e时y=(lnx)/x是减函数；因此当a>b>e时有(lna)/a<(lnb)/b；即有alnb>blna；于是
充分性得证。
再证必要性，即若alnb>blna，也就是若(lna)/a<(lnb)/b，则必有a>b>e。
∵(lna)/a<(lnb)/b；∴y=(lnx)/x是减函数；这只有y'=(1-lnx)/x²<0才有可能，故1-lnx<0，
即lnx>1，∴x>e；故a>b>e；于是必要性得证。

Answer 2

考察函数 f(x) = lnx/x，x>0，
有 f ' (x) = (1-lnx)/x^2，
令 f ' (x) > 0 得 0<x<e，令 f ' (x)< 0 得 x>e，
所以函数在（0，e）上增，在（e，+∞）上减，
当 a>b>e 时，有 f(a)<f(b)，即 lna/a < lnb<b，
化简得 alnb > blna 。
反之，当 alnb>blna 时，a 可能小于 b，如 a=1/e，b=1。
选 A

Answer 3

D