Question

如何用微积分推出球体的表面积,体积公式

Answer 1

设球的半径为R,球截面圆到球心的距离为x
则球截面圆的半径为√(R^2-x^2)
以x作球截面圆的面积函数再对其积分就是半球的体积
有dV=2(2(pi)(R^2-x^2))
对其在[0,R]积分可得V=(4/3)(pi)(r^3)
这个函数积分很简单就不写过程了.
球面积相对复杂点(在积分方面)
思想还是一样
对球截面圆的周长函数积分可得球表面积
照上面,球截面圆的周长函数为2(pi)√(R^2-x^2)
对x进行[0,R]积分得到半球表面积
即dS=4(pi)√(R^2-x^2)
对dS积分,设x=R(sin
t),t=[0,pi/2]
则dS=4(pi)R(cos
t)√(R^2-(R(sin
t))^2)
dt
=4(pi)(R^2)(cos
t)^2
dt
=2(pi)(R^2)+(2(pi)(R^2)(sin
2t)
dt)
,t=[0,pi/2]
则解2(pi)(R^2)(sin
2t)
dt积分有2(pi)(R^2)
即得S=4(pi)(R^2)

Answer 2

你好！
V=(4/3)πr^3
S=4πr^2
由此可以看出
dV/dr=S，
即，对体积进行微分，可得其表面积。
对于圆
S=πr^2
C=πr
dS/dr=C，
即，对面积进行微分，也可得到圆的周长。
我的回答你还满意吗~~