2019-10-23 · 知道合伙人教育行家
huqian793
知道合伙人教育行家
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2011年高教社杯全国大学生建模国家二等奖； 2012年大学生创新项目校一等奖并获优秀大学生奖； 过英语四六级
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我可以用两步进行计算，这里提供一种方法仅供参考，如下：
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用拉氏变换法求的时候像函数很难找到原函数，题目是不是搞错了
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求微分方程 y''-5y'+9y=5xe^(-3x)的通解；
解：齐次方程 y''-5y'+9y=0的特征方程 r²-5r+9=0的根：r₁=(5+i√11)/2；r₂=(5-i√11)/2;
故特征方程的通解为：y=[e^(5x/2)][C₁cos(√11/2)x+C₂sin(√11/2)x];
设特解 y*=(ax+b)e^(-3x)；y*'=ae^(-3x)-3(ax+b)e^(-3x)=(-3ax+a-3b)e^(-3x);
y*''=(-3a)e^(-3x)-3(-3ax+a-3b)e^(-3x)=(9ax-6a+9b)e^(-3x);
代入原式并消去e^(-3x)得：
(9ax-6a+9b)-5(-3ax+a-3b)+9(ax+b)=24ax-11a+24b=5x
故a=5/24； -11a+24b=-55/24+24b=0, ∴b=55/576;
故特解y*=[(5/24)x+55/576]e^(-3x);
于是得通解：y=[e^(5x/2)][C₁cos(√11/2)x+C₂sin(√11/2)x]+[(5/24)x+55/576]e^(-3x);
解：齐次方程 y''-5y'+9y=0的特征方程 r²-5r+9=0的根：r₁=(5+i√11)/2；r₂=(5-i√11)/2;
故特征方程的通解为：y=[e^(5x/2)][C₁cos(√11/2)x+C₂sin(√11/2)x];
设特解 y*=(ax+b)e^(-3x)；y*'=ae^(-3x)-3(ax+b)e^(-3x)=(-3ax+a-3b)e^(-3x);
y*''=(-3a)e^(-3x)-3(-3ax+a-3b)e^(-3x)=(9ax-6a+9b)e^(-3x);
代入原式并消去e^(-3x)得：
(9ax-6a+9b)-5(-3ax+a-3b)+9(ax+b)=24ax-11a+24b=5x
故a=5/24； -11a+24b=-55/24+24b=0, ∴b=55/576;
故特解y*=[(5/24)x+55/576]e^(-3x);
于是得通解：y=[e^(5x/2)][C₁cos(√11/2)x+C₂sin(√11/2)x]+[(5/24)x+55/576]e^(-3x);
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