Question

一道超难的数学题，求解答

Answer 1

∵p是x,y的最大公约数
不妨设x=pm，y＝pn，其中m,n互质，m≥n
∴q＝pmn
∴原式可化为：p*pmn-pm-pn=2p+pmn
，即pmn-m-n=2+mn
∴(p-1)mn=m+n+2
∴p-1=(m+n+2)/mn，为不小于1的整数
即m+n+2≥mn恒成立.......(1)
∵m+n+2≥2+2√mn，即2+2√mn为m+n+2的最小值（注，“√”是根号）（此步是根据基本不等式：a*a+b*b≥2ab）
要使（1）式恒成立，必须有2+2√mn≥mn
令√mn＝x，则有x*x-2x-2≤0，解得：0
http://zhidao.baidu.com/question/17150849.html?si=4

Answer 2

解:
如题所示p是x,y的最大公约数
所以可设x=pm,y＝pn,又因为m,n互质，m≥n
∴q＝pmn
原式可化为：p×pmn-pm-pn=2p+pmn,即pmn-m-n=2+mn
∴(p-1)mn=m+n+2
p-1=(m+n+2)/mn，为不小于1的整数
即有m+n+2≥mn恒成立
∵m+n+2≥2+2√mn,即有2+2√mn为m+n+2的最小值
要使①式恒成立，必须有2+2√mn≥mn
令√mn＝x，则有xx-2x-2≤0，解得:0<x≤1+√3
∴mn≤4+2√3
∴m,n分别可取如下的值:1和1,2和1,3和1,4和1,5和1,6和1,7和1,2和2,3和2
将每组解带入(m+n+2)/mn，
解得
1和1，3和1可使(m+n+2)/mn为整数
∴当m=1,n=1时，p=5，x=y=5
当m=3,n=1时，p=3,x=9,y=3
所以有(x,y)=(5,5)或(9,3)