Question

大学微积分 如何判断函数是连续函数

Answer 1

首先按定义，函数在某点连续，当且仅当该函数在该点左右极限都存在且相等，且在该点的函数值等于极限值。
其次，可以用柯西收敛准则来判断，函数f(x)在x0连续等价于：
对任意的η>0，存在δ>0，使得当x1，x2都落在x0的δ邻域内时|f(x1)-f(x2)|<η。

Answer 2

设f(x)＝f(x)-f(x+1)，则f(x)在[0,1]上连续，f(0)＝f(0)-f(1)，f(1)＝f(1)-f(2)＝f(1)-f(0)

若f(0)＝f(1)，则取a＝0或1即可得到f(a)=
f(a+1)

若f(0)≠f(1)，则f(0)*f(1)＜0，由零点定理，至少存在一点a∈(0,1)，使得f(a)＝0，即f(a)＝f(a+1)，所以存在一点a属于[0,2]，使得
f(a)＝f(a+1)