Question

正数数列an的前n和是Sn，若an √sn 都是等差数列，公差相等则a1+d＝

Answer 1

您好！
设An=dn+k（d为公差），得到Sn=(A1+An)×n/2=[(d+k)+(d+k+(n-1)d)]n/2
化简得到Sn=(nd+d+2k)n/2,
讨论一下可以得出，√Sn要为等差数列，其通项公式应为n的一次函数，所以括号内除n外的系数必须为0才能开出来的到xn的形式，即d+2k=0,①
此时√Sn=n×√(d/2),公差为√(d/2),由题意得√(d/2)=d，所以解得d=1/2.由①得k=-1/4
所以An=n/2-1/4.容易得出A1+d=A2=3/4
希望有帮助。思路应该比较简单
谢谢采纳！~

Answer 2

设公差为d，√Sn有意义，Sn恒≥0，首项a1≥0，公差d≥0。
(1)
d=0时，Sn=na1
√S(n+1)-√Sn=√[(n+1)a1]-√(na1)=[√(n+1)-√n]a1=0
√(n+1)-√n>0，要等式成立，只有a1=0
a1+d=0
(2)
d≠0时，
√S(n+1)-√Sn=d
√[na1+n(n+1)d/2]
-√[na1+n(n-1)d/2]=d
左边分子有理化
d/{√[na1+n(n+1)d/2]
+√[na1+n(n-1)d/2]}=d
d[1-
1/√[na1+n(n+1)d/2]
+√[na1+n(n-1)d/2]]=0
括号内式子的值随n变化而变化，要等式对于任意正整数n恒成立，只有d=0(舍去)
综上，得a1+d=0

Answer 3

设公差为d，首项a1
sn=na1+n(n-1)d/2
√sn=√(s1)+(n-1)d=√(a1)+(n-1)d
平方
sn=a1+2√(a1)*(n-1)d+(n-1)^2d^2
na1+n(n-1)d/2=a1+2√(a1)*(n-1)d+(n-1)^2d^2
(n-1)a1+n(n-1)d/2=2√(a1)*(n-1)d+(n-1)^2d^2
a1+nd/2=2√(a1)d+(n-1)d^2
nd/2-nd^2=2√(a1)d-d^2-a1
n(d/2-d^2)=2√(a1)d-d^2-a1
因为对任意n∈n+都成立，所以
d/2-d^2=0
d=0或d=1/2
(1)
d=0时
2√(a1)d-d^2-a1=0
a1=0
正项数列
舍
(2)
d=1/2
2√(a1)d-d^2-a1=0
a1=1/4