Question

如何判断无理数的无理数次幂为无理数

Answer 1

无理数的无理数次幂不一定为有理数，也可能为无理数
只能证明无理数的无理数次幂可能为有理数
比如可以证明（√2）^(√2)为有理数
令p
=
sqrt(2)，q
=
sqrt(2)，
问p
^
q是否为有理数，否的话，
令r
=
p
^
q，
则r
^
q
=
sqrt(2)
^
2
=
2，
得证。

Answer 2

存在无理数的无理数次方为有理数，如下:

设x=√2^√2（此处√为根号）

1. 若x为有理数，∵√2是无理数，∴无理数的无理数次方可能为有理数.

2. 若x为无理数，设y=√2，则x^y=(√2^√2)^√2=√2^2=2.

   ∵x,y都为无理数，而2为有理数，∴无理数的无理数次方可能为有理数.