Question

等轴双曲线的中心在原点，焦点在X轴上，直线Y=1/2X截双曲线所得弦长为2倍根号15求此等轴双曲线的方程？

Answer 1

解：设双曲线方程为x^2-y^2=a^2直线与双曲线两交点为(x1,y1),(x2,y2)
将y=(1/2)x代入上式有
3x^2-4a^2=0
由韦达定理有
x1+x2=0
x1x2=-(4/3)a^2
则y1+y2=(1/2)(x1+x2)=0
y1y2=(1/4)x1x2=(-1/3)a^2
由两点间距离公式有
√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
=√[(x1+x2)^2-4x1x2+(y1+y2)^2-4y1y2]
=√[-4*(-4/3)a^2-4(-1/3)a^2]
=√[(20/3)a^2]
∴√[(20/3)a^2]=2√15
解得a^2=9
故双曲线方程为x^2-y^2=9

Answer 2

可设此双曲线为x²-y²=r²，与y=1/2x联立，消y得：
x²-1/4x²=r²,3/4x²=r²,设两交点（x1,y1），（x2,y2）
x1=2√3r/3,x2=-2√3r/3
y1=1/2x1=√3/3r,y2=-√3r/3
依题意，√（x1-y1）²+（x2-y2）²=2√15
1/3r²+1/3r²=60
r²=90
所求曲线为x²/90-y²/90=1
谢谢支持！