Question

椭圆中心在原点，焦点在X轴上，椭圆截直线C:X+2Y-2= 0弦长为跟号5，弦中点坐标(1，1/2)，求椭圆方程

Answer 1

x+2y-2=0
x=2-2y,y=(2-x)/2
设椭圆方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1
b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2
把x=2-2y代入得:
(a^2+4b^2)y^2-8b^2y+4b^2-a^2b^2=0(1)
y1+
y2
=8b^2/(a^2+4b^2)
中点坐标为(1,1/2),所以8b^2/(a^2+4b^2)=1/2*2=1(2)
同理把y=(2-x)/2代入方程得:
(b^2+a^2/4)x^2-a^2x+a^2-a^2b^2=0
x1+x2=a^2/(b^2+a^2/4)=1*2=2(3)
由(2)(3)式可得:a^2=4b^2,
把a^2=4b^2代入(1)式得:
8b^2y^2-8b^2y+4b^2-4b^4=0
2y^2-2y+1-b^2=0
可得:y1y2=(1-b^2)/2,y1+y2=1
(y1-y2)^2=1-4*(1-b^2)/2=2b^2-1
(x1-x2)^2=[(1/k)*(y1-y2)]^2=(-2)^2*(2b^2-1)
(y1-y2)^2+(x1-x2)^2=(√5)^2=5
2b^2-1+(-2)^2*(2b^2-1)=5
b^2=1
所以a^2=4b^2=4
椭圆方程为:
x^2/4+y^2=1
x^2+4y^2=4