Question

不等式 abc<=(a+b+c/3)^3成立的条件是：

Answer 1

使用排序不等式
证：由幂指数
a^a
易知
a,b,c
>
0，不妨假设
a
>
b
>
c
>
0
则
a^a
*
b^b
*
c^c
≥
(abc)^[(a+b+c)/3]
<=>
ln(a^a
*
b^b
*
c^c)
≥
[(a+b+c)/3]lnabc
对不等式左右取自然对数
<=>
alna
+
blnb
+
clnc
≥
[(a+b+c)/3]lnabc
<=>
3(alna
+
blnb
+
clnc)
≥
(a+b+c)lnabc
即证
3(alna
+
blnb
+
clnc)
≥
(a+b+c)lnabc
由排序不等式
3(alna
+
blnb
+
clnc)
≥
alna
+
blnb
+
clnc
顺序和
+
blna
+
clnb
+
alnc
乱序和1
+
clna
+
alnb
+
blnc
乱序和2
=
(a+b+c)lna
+
(a+b+c)lnb
+
(a+b+c)lnc
=
(a+b+c)(lna
+
lnb
+
lnc)
=
(a+b+c)lnabc
即
3(alna
+
blnb
+
clnc)
≥
(a+b+c)lnabc
当且仅当
a
=
b
=
c
时取等
易证得当
a,b,c
取其他关系时同有上述式子成立
故
a^a
*
b^b
*
c^c
≥
(abc)^[(a+b+c)/3]
得证
当且仅当
a
=
b
=
c
时取等
*
含幂代数式通常对(不)等式两侧取自然对数利于变形放缩
**
对形如
3(a1b1
+
a2b2
+
a3b3)
一类式子需要灵活处理，向目标式拼凑转化