Question

设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0 ,记M=max{ l f(x) l ,x∈[0,1]}

证明至少存在一点ζ∈(0,1)，使得 l f`(ζ)l ≥2M

Answer 1

由f(x)在[0,1]上连续,
|f(x)|在[0,1]上可以取得最大值M.
设在c∈[0,1]处|f(c)|
=
M.
若c
≥
1/2,
在[c,1]上由Lagrange中值定理,
存在ζ∈(c,1)使f'(ζ)
=
(f(1)-f(c))/(1-c)
=
-f(c)/(1-c).
此时|f'(ζ)|
=
|f(c)/(1-c)|
=
M/(1-c)
≥
2M.
若c
≤
1/2,
在[0,c]上由Lagrange中值定理,
存在ζ∈(0,c)使f'(ζ)
=
(f(c)-f(0))/(c-0)
=
f(c)/c.
此时|f'(ζ)|
=
|f(c)/c|
=
M/c
≥
2M.