Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+2x．（1）求f...

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+2x． （1）求f（0）值； （2）求此函数在R上的解析式； （3）若对任意t∈R，不等式f（t2-2t）+f（k-2t2）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）因为f（x）为R上奇函数，所以f（0）=0．
（2）设x＜0，则-x＞0，
则f（-x）=（-x）2+2（-x）=x2-2x=-f（x），
∴x＜0时，f（x）=-x2+2x，
∴f(x)=x2+2x，x≥0-x2+2x，x＜0．
（3）∵f（x）=x2+2x在（0，+∞）上为增函数，
且f（0）=0，f（x）为R上奇函数
∴f（x）在R上为增函数，
∴原不等式可变形为：t2-2t＜2t2-k，
对任意t∈R恒成立，
∴k＜（t2-2t）min=-1
即实数k的取值范围为（-∞，-1）