Question

已知数列{an}中，a1=1，anan+1=2n（n∈N*）（1）求数列{an}...

已知数列{an}中，a1=1，anan+1=2n（n∈N*） （1）求数列{an}的前2n项之和S2n （2）若3（1-ka2n）≤S2n•a2n对任意n∈N*恒成立，求k的最小值．

Answer 1

解：（1）∵anan+1=2n，
∴anan-1=2n-1，
两式相比：an+1an-1=2，
∴数列{an}的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，
∵a1=1，a nan+1=2n(n∈N*）
∴a1=1，a2=2，
∴S2n=1×(1-2n)1-2+2×(1-2n)1-2
=3×2n-3．
（2）∵3（1-ka2n）≤S2n•a2n对任意n∈N*恒成立，
∴3（1-ka2n）≤3（2n-1）a2n，
∵a2n=2n，
∴k≥1-(2n-1)a2na2n
=12n-2n+1，
F（n）=12n-2n+1单调递减，所以n=1时F（1）=-12，
∴K≥-12，
故k的最小值是-12．