Question

设向量a1=（1，4，0，2），a2=(2,7，1，3），a3=(0,1,-1,a),β=(3,10,b,4)

设向量a1=（1，4，0，2），a2=(2,7，1，3），a3=(0,1,-1,a),β=(3,10,b,4)

(1)当a,b取何值时，β不能由a1,a2,a3线性表示？
（2）当a，b取何值时，β可由a1,a2,a3线性表示？并求出相应的表达式

Answer 1

这个用初等变换噻
矩阵A=(a1′,a2′,a3′,β′)
初等行变换得：
矩阵第一行：1 ,0 ,2 ,3-2b
矩阵第二行：0 ,1, -1,b
矩阵第三行：0 ,0，a-1,b-2
矩阵第四行：0 ,0, 0 ,b+4
当b≠-4,当b-2≠0,a-1=0时β不能由a1,a2,a3线性表示，
当b≠4，
当a=1,b≠2时β不能由a1,a2,a3线性表示

（2）β可由a1,a2,a3线性表示
则b=-4,a≠-1
矩阵第一行：1 ,0 ,0 ,(11a+1)/(a-1)
矩阵第二行：0 ,1, 0,(2+4a)/(1-a)
矩阵第三行：0 ,0，1,6/(1-a)
矩阵第四行：0 ,0, 0,0

β=(11a+1)a1/(a-1)+(2+4a)*a2/(1-a)
+6*a3/(1-a)

Answer 2

此题不能用系数行列式来判断
应该用系数矩阵和其增广矩阵的秩
当r(a)+1=r(a增广)时，方程组无解，即β不能由a1,a2,a3线性表出
所以a为任意，b≠2
只有在方程组有解并且其增广矩阵为n阶方阵<=>行列式=0，为充要条件
反之则不一定成立,即方程组无解<≠>行列式≠0，不能用这个来判断

Answer 3

（1）观察可知β的第一坐标3=1+2，为a1a2的第一坐标相加，a3的第一坐标为0，故若β能被a1a2a3表达,又由第二坐标知a3的系数应为-1，则β的第三第四坐标分别为2，5-a,则β不能由三向量表出有b不等于2或者5-a不等于4，即b不等2或a不等1
（2）同上b=2且a=1

Answer 4

设a1x1+a2x2+a3x3+bx4=0,得线性方程组，它的系数行列式是
2
2
0
3
4
7
1
10
0
1
-1
b
2
3
a
4,
按第三行展开行列式，得
-
|2
0
3|
|4
1
10|
|2
a
4|
-|2
2
3
|
|4
7
10|
|2
3
4|
-b|2
2
0|
|4
7
1|
|2
3
a|
=-[2(4-10a)+3(4a-2)]-[-4+8-6]-b[2(7a-3)-2(4a-2)]
=-(8-20a+12a-6)-(-2)-b[14a-6-8a+4]
=-2+8a+2-b(6a-2)
=8a+2b-6ab,
1.当4a+b-3ab≠0时方程组只有平凡解，a1,a2,a3,b线性无关，b不能由a1,a2,a3线性表示
2.左上角的3阶子式
|2
2
0|
|4
7
1|
|0
1
-1|
=-14-2+8=-8≠0，
∴a1,a2,a3线性无关，
∴当4a+b-3ab=0时方程组有非零解，a1,a2,a3,b线性相关，b可由a1,a2,a3线性表示且表示唯一.
3.不可能。

Answer 5

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