Question

已知数列{a n }满足： a 1 =1， a n+1 = 1 2 a n +n，n为奇数

已知数列{a n }满足： a 1 =1， a n+1 = 1 2 a n +n，n为奇数 a n -2n，n为偶数 （I）求a 2 ，a 3 ； （II）设 b n = a 2n -2，n∈ N * ，求证：数列{b n }是等比数列，并求其通项公式； （Ⅲ）求数列{a n }前20项中所有奇数项的和．

Answer 1

（Ⅰ）令n=1，得a
2
=
1
2
a
1
+1=
3
2
，令n=2，得a
3
=a
2
-4=-
5
2
．
（II）b
1
=a
2
-2=-
1
2
，且
b
n+1
b
n
=
a
2n+2
-2
a
2n
-2
=
1
2
a
2n+1
+(2n+1)-2
a
2n
-2
=
1
2
(a
2n
-2×2n)+2n-1
a
2n
-2
=
1
2
，是一个与n无关的常数．
所以数列{b
n
}是等比数列，其通项公式b
n
=-
(
1
2
)
n
（Ⅲ）由（II）可得a
2n
=2+b
n
．
数列{a
n
}前20项中所有奇数项的和S=a
1
+a
3
+a
5
+…+a
19
=a
1
+
1
2
(
a
2
-2×1)
+
1
2
(
a
4
-2×2)
+…+
1
2
(
a
18
-2×18)
=1-（1+2+4+…18）+
1
2
（a
2
+a
4
+…a
18
）
=-90+
1
2
（2+b
1
+2+b
2
+…2+b
9
）=-90+
1
2
（18+
-
1
2
(1-
1
2
9
)
1-
1
2
）=-90+9-
1
2
+
1
2
10
=
1
2
10
-
163
2