Question

高中数学，m的取值？

已知A={x|x²+mx+1=0,x∈R),
B={x|2x²+x+m=0，x∈R).
(1)若AUB= Φ，求实数m的取值范围

(2)若A∩B=Φ，求实数m的取值范围.

Answer 1

第一问，A∪B为空集，则说明集合A和集合B中的元素都为空集，即x²+mx+1=0没有实数解，且2x²+x+m=0没有实数解。
所以有x²+mx+1=0的判别式△=m²-4<0，解得到-2<x<2；有2x²+x+m=0的判别式△=1-8m<0解得到m>1/8。
因为A和B集合同时为空集才能成立，所以上述m取交集，即1/8<m<2。
第二问，A∩B为空集，要分布说明。
1.当A和B都是空集时，A∩B等于空集成立，即m的范围为1/8<x<2。
2.当A为空集，B不为空集时，有A为空集解为-2<x<2，B不为空集时判别式△=1-8m≥0解为m≤1/8。所以m的范围为-2<x≤1/8。
3.当A不为空集，B为空集时，有A不为空集解为m≥2或者m≤-2；B为空集时m的范围为m>1/8。所以此时m的取值范围为m≥2。
4.当A和B都不为空集时，A不为空集的m范围为m≥2或者m≤-2；B不为空集的m范围为m≤1/8。此时m的取值范围为m≤-2。
且此时A的元素为x1=-m/2-√(m²-4)/2，x2=-m/2+√(m²-4)/2；此时B集合的元素为x3=-1-√(1-8m)，x4=-1+√(1-8m)。
所以还要保证x1≠x3≠x4，x2≠x3≠x4。
因为x2是个减函数，其最大值为当m=-2时，即为1；而x3是增函数，当m=-2时，x3取最大值，即-1-√17。所以无论m何值时x2≠x3。

Answer 2

设h(x)=(mx-1)^2-√x-m,
由零点原理知h(0)*h(1)≤0,且单调
h(0)*h(1)=m(1-m)(m+3)≤0,
得m(m-1)(m+3)≥0,
解之0≤m≤1,m≥3,

Answer 3

第一问正确。
第二问：
第一种情况，意思是求集合（-2，2）与集合（1/8，+∞）的并集即可，即m＞-2。因为空集与任何集合的交集都等于空集。也就是说，那两个关于x的一元二次方程至少有一个无解就行。
第二种情况，当m≤-2时，两方程都有根，然后再考虑两方程不能有公共解。由一元二次方程根与系数的关系可知，当m≤-2时，这两个方程不可能有公共解，故此时m≤-2。
以上两种情况再取并集，也就是说m的值可取任意实数。

追问

第二问不需要考虑无解吧，两个一元二次方程必须和x轴有相同的交点，才能满足A∩B≠空集，除那个点之外的任何m值都满足要求

追答

第一，你要明白，第一问必须满足A、B两个集合同时为空集，而第二问则是只需满足A或B两个集合有一个空集或者两个全是空集即可，这都是符合题意的。为什么不需要考虑无解呢？
第二，两条抛物线都与x轴有交点的前提条件是m小于或等于-2，此时应该说除去公共交点之外的、且满足m≤-2的m所有的值。

Answer 4

如图所示

追问

第二问，A交B是空集，假如一个特定m，A的x求得3,4,B的x求得5,6，A交B也是空集呀

Answer 5

A：m²－4≥0，Χa＝-m±√（m²－4）/2
B：1-8m≥0，Χb＝-1±√（1-8m）/4

1）满足条件A＝Φ，B＝Φ时，A∪B＝Φ，
即m²－4＜0，1-8m＜0，
-2＜ m＜2 m＞1/8
1/8＜m＜2
（2）.A∩B＝Φ，
①当A＝Φ时B≠Φ：m²－4＜0， 1-8m≥0得-2＜m＜2 m≤1/8
即-2＜m≤1/8
②当A≠Φ，B＝Φ时：m²－4≥0，1-8m＜0m≥2或m≤-2，m＞1/8
得m≥2
③当A＝ΦB＝Φ同（1）1/8＜m＜2
④当A≠ΦB≠Φ时，m≤-2 且xa≠xb
∵m≤-2 ，√m²-4）＜-m，√（1-8m）＞4∴Χa1：-m-√（m²-4）/2＞0，
Χa2＝-m+√（）/2＞0，
Χb1：-1-√（1-8m）/4＜0
Χb2＝-1+√（1-8m）/4＞0
∴-1-√（1-8m）＜0，此时若xa1＞xb2，xa≠xb成立.....
xa1，xb2取值范围：
∵m≤-2，-m-√（m²-4）/2∈［1，＋∞）
-1+√（1-8m）/4∈［（√17-1）/4，＋∞）∴（√17-1）/4≤［-1+√（1-8m）］/4＜1－3＜m≤-2
综上所述m取值范围（-3，+∞）