Question

求证：1/n+1+1/n+2+1/n+3+......+1/3n>5/6（n≥2，n∈N*）

Answer 1

求证：1/(n+1)
+
1/(n+2)
+
1/(n+3)
+
......
+
1/(3n)
>
5/6
(n≥2,
n∈N*) 证明：
(1)
当
n=2
时，
左边
=
1/3
+
1/4
+
1/5
+
1/6
>
2/6
+
1/6
+
1/6
+
1/6
=
5/6
=
右边
原式成立。
(2)
假设当
n=k(k≥2,
k∈N*)
时原式成立，
即
1/(k+1)
+
1/(k+2)
+
1/(k+3)
+
......
+
1/(3k)
>
5/6
那么，当
n=k+1(k≥2,
k∈N*)
时，
左边
=
1/(k+2)
+
1/(k+3)
+
1/(k+4)
+
......
+
1/(3k)
+
1/(3k+1)
+
1/(3k+2)
+
1/(3k+3)

>
5/6
-
1/(k+1)
+
1/(3k+1)
+
1/(3k+2)
+
1/(3k+3)

>
5/6
-
1/(k+1)
+
1/(3k+3)
+
1/(3k+3)
+
1/(3k+3)

=
5/6
=
右边
原式仍然成立。
根据数学归纳法，有(1)(2)
可知原式对任意
n≥2,
n∈N*
都成立。
证毕。