Question

已知圆C:(x-3)^2+(y-4)^2=4及两点A(-1,0),B(1,0),P(x,y)为圆C上任意一点,求|AP|^2+|BP|^2的最小值

要详细过程，谢谢！

Answer 1

我给提供2种方法吧，现在要去上班，晚上回来再补充，先占个位！

下班了...

一个方法和上面的朋友的方法相同（英雄所见略同啊）
方法一：用到一个结论：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和（坐标法，向量法，余弦定理均可证明）
把平行四边形切去一半，剩下三角形和中线，由上面的结论可得，|AP|^2+|BP|^2＝(4PO^2+AB^2)/2，其中o为坐标原点。故，要想所求平方和最小，只需PO最小（AB=2为已知）
显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心。
PO的最小值＝|OC|-2=3
故|AP|^2+|BP|^2的最小值＝(36+4)/2=20

方法二（和方法一殊途同归）
设P点坐标为（x，y），则|AP|^2+|BP|^2=(x+1)^2+y^2+(x-1)^2+y^2=2(x^2+y^2)+2=2PO^2+2
要想上式最小，只需PO最小，显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心。
PO的最小值＝|OC|-2=3
故|AP|^2+|BP|^2的最小值=20

Answer 2

本题要用一个结论：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和（用余弦定理可证）
|AP|^2+|BP|^2＝1/2(4PO^2+AB^2)
PO的最小值＝|OC|-2=3
故|AP|^2+|BP|^2的最小值＝1/2(36+4)=20

Answer 3

P点用sin和cos来设，这样就一个参数角