Question

若函数f（x）=ax+sinx的图象上存在互相垂直的切线，则实数a的值为______

若函数f（x）=ax+sinx的图象上存在互相垂直的切线，则实数a的值为______．

Answer 1

∵f（x）=ax+sinx
∴f′（x）=a+cosx，
假设函数f（x）=ax+sinx的图象上存在互相垂直的切线，
不妨设在x=m与x=n处的切线互相垂直
则（a+cosm）（a+cosn）=-1
∴a2+（cosm+cosn）a+（cosmcosn+1）=0
（*）
因为a的值必然存在，即方程（*）必然有解，所以
判别式△=（cosm+cosn）2-4（cosmcosn+1）≥0
所以
cos2m+cos2n-2cosmcosn=（cosm-cosn）2≥4
解得cosm-cosn≥2
或
cosm-cosn≤-2
由于|cosx|≤1，所以有cosm=1，cosn=-1
或
cosm=-1，cosn=1，且△=0
所以（*）变为：a2=0所以a=0
故答案为：0