Question

当x>0时，求证sinx>x-x^3/6.

我是文科生。用导数解，但是别太复杂。求导的次数别太多额。。

Answer 1

证明:
(1)先证明
x>0时，x>sinx(需要用到此结论)
构造函数F(x)=x-sinx
则
F(0)=0
F'(x)=1-cosx≥0恒成立
∴
F(x)在x>0时是增函数
∴
F(x)>F(0)=0
即
x>sinx
(2)
构造函数
f(x)=sinx-x+x³/6
则f(0)=0
f'(x)=cosx-1+x²/2=x²/2-2sin²(x/2)=2[(x/2)²-sin²(x/2)]=2[x/2-sin(x/2)]*[x/2+sin(x/2)]
由(1)则，f'(x)>0恒成立
∴
f(x)在x>0时是增函数
∴
f(x)>f(0)=0
即
sinx>x-x³/6