Question

在四边形ABCD中,∠B=∠C=120°,AB=3,BC=4,CD=5,则此四边形的面积是

在四边形ABCD中，∠B=∠C=120°，AB=3，BC=4，CD=5，则此四边形的面积是 详细回答过程

Answer 1

作AE⊥CB延长线于E,DF⊥BC延长线于F
则：
在直角三角形AEB中，∠ABE=180-120=60°
所以，BE=AB/2=3/2,AE=√3/2*AB=3√3/2
S△ABE=AE*BE/2=9√3/8

在直角三角形DFC中，∠DCF=180-120=60°
所以，CF=CD/2=5/2,DF=√3/2*CD=5√3/2
S△DCF=CF*DF/2=25√3/8

所以，在直角梯形AEFD中
AE+DF=3√3/2+5√3/2=4√3
高=EF=EB+BC+CF=3/2+4+5/2=8
直角梯形AEFD的面积=(AE+DF)*EF/2=4√3*8/2=16√3

四边形ABCD面积
=AEFD的面积-S△ABE-S△DCF
=16√3-9√3/8-25√3/8
=47√3/4

Answer 2

作AE⊥CB延长线于E,DF⊥BC延长线于F
则：
在直角三角形AEB中，∠ABE=180-120=60°
所以，BE=AB/2=3/2,AE=√3/2*AB=3√3/2
S△ABE=AE*BE/2=9√3/8



Answer 3

用初中知识解答：

延长AB、DC交于O，∠B=∠C=120°
可得：角O＝60度
三角形OBC是等边三角形，边长为4,面积是4√3
作AE⊥OD于E，则AO＝7, 角OAE＝30度
作勾股定理得：AE＝7√3/2
所以OAD的面积＝1/2*OD*AE=63√3/4
则ABCD的面积＝63√3/4-4√3=47√3/4

Answer 4

过A作AE垂直于CB的延长线于E，过D作DF垂直与BC的延长线于F
所以AEFD是梯形
所以角ABE=角DCF=60°
由三角关系得到
BE=ABsin60°=1.5 AE=ABcos60°=3根号3/2
CF=CDsin60°=2.5 DF=CDcos60°=5根号3/2
所以EF=BE+BC+CF=8
梯形AEFD的面积SAEFD=(AB+DF)*EF/2=16根号3

三角形AEB的面积+三角形DCF的面积=(AE*EB+CF*DF)/2=17根号3/4

故而ABCD的面积=梯形AEFD的面积-(三角形AEB的面积+三角形DCF的面积)=47根号3/4

Answer 5

BC向两边延长，再分别作A、D垂直于BC的延长线于E和F，则由∠B=∠C=120，得直角三角形AEB和直角三角形DFC中有∠ABE=∠DCF=60°，所以BE=1.5，CF=2.5.双四边形AEFD是直角梯形形，则其面积为（AE+DF）*（EB+BC+CF）/2=16*根号3,
再分别求直角三角形AEB和直角三角形DFC的面积，分别为1.125根号3和3.125根号3
再用直角梯形形AEFD的面积减去其两个面积即为所求，最后等于11.75根号3。
不知道会不会算错，不过这个方法就可以

Answer 6

解：
过点c作ce⊥bd，交bd于e
∵bc=cd=2，c=120°
∴∠cbd=∠cdb=(180°-120°)/2=30°，be=de
rt△cbe中，
be=bc·cos30°=√3，ce=bc·sin30°=1
∴bd=2be=2√3
∵∠abc=120°
∴∠abd=120°-∠cbd=120°-30°=90°
sabcd=s△abd+s△bcd
=½·ab·bd+½·bd·ce
=½·bd·(ab+ce)
=½·2√3·(4+1)
=5√3
四边形的面积为5√3